妙笔生花——— 一道解三角形例题的教学
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作者：王常斌 佛山市顺德区教育发展中心
责编：张小春
审核：王常斌
普通高中试验教材相对以往的教材有很多优越性，但因教材编写时间仓促，不同版本的教材都存在这样或那样的问题。特别是新课程中教学内容多，教学时间少，故有些教材编写的比较简略。教师在教学过程中，若只是照本宣科，学生可能就一知半解，因此教师对待新教材的某些内容，要进行恰当处理，才能使教学事半功倍。下面是笔者的一次教学实例，与同行们共享。
《解三角形》在过渡教材中安排在《平面向量》一章之中，属《平面向量》的附属内容，但在新课程中却独立成一章，增加了课时，提高了要求。
新课标人教A版必修5第一章《解三角形》第一节有这样一道例题（P7例3）：
在△ABC中，已知b=60cm, c=34cm, A=410, 解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。
本例是利用余弦定理解三角形的应用。这道题看似简单，但对于初学完正弦定理和余弦定理的学生来说，如果教师不能正确引导，只是照本宣科，会造成学生理解不透彻，以后碰到类似的题会犯错误。笔者在教此例题时，从不同的角度引导学生，达到了较好的教学效果。下面简述笔者的教学过程。
教师板书例题。
T（Teacher下同）：本例要求解三角形，已知条件是哪种类型？
S（Student下同）：已知两边和夹角。
T：我们第一步应做什么？
S：先用余弦定理求第三边a。
T：OK，你们先完成这一步。
教师安排学生甲上台板演：
T：好啦，现在△ABC中我们已经知道三边a、b、c及角A，还需求出角B及角C，怎样求呢？
S1：可以根据正弦定理求出sinB和sinC，进而求出B和C。
S2：也可以根据余弦定理的推论计算出cosB和cosC，进而求出B和C。
T：思路都不错，可行吗？
S：可行。
T：那么你们用这两种方法分别计算，一、二组的同学先用第一种方法（正弦定理），三、四组的同学先用第二种方法（余弦定理），先做完的同学再用另一种方法，S1和S2上台板演，S1用第一种方法，S2用第二种方法。
S1：由正弦定理得：
S3：S1错，它的三角形内角和A+B+C=410+740+330=1480≠1800.
T:好厉害，一下子就看出了问题的症结！那么造成这种错误的原因是什么呢？是计算错误吗？
S3语塞。
S4：不是运算错误，是由于sinB=0.9601>0,则B可能为锐角，也有可能为钝角，而他只把B当成锐角了。
T：有道理！那按你说应有两种结果，对吗？
S4：我认为是这样，当B为锐角时，B≈740, 当B为钝角时，B≈1800-740=1060。
T：那角C的值是否也有两个呢？
S4：应该有两个，一个是330，另一个是1470。
S5：C不能等于1470，否则C+A=1470+470=1880>1800,与三角形内角和矛盾了。
T：回答非常好！那么最后的解应该是什么呢？
S5：B≈1060，C≈330，B≈740应舍去，因为它不符合角形内角和定理。
T：看来第一种方法（正弦定理）做起来很麻烦，每次做完后都要检验。有没有什么好方法做完后不用检查呢？
S6：用第二种方法（余弦定理），象S2那样做。
T：为什么用余弦定理做不会出现两解的情况呢？而用正弦定理会呢？
S6：因为锐角的余弦为正，钝角的余弦为负，而锐角和钝角的正弦均为正。
T：完全正确，这正是问题的关键所在。那么S2同学的做法是否完美无缺呢？
S7：我认为求出B=1060后，求C时只需用三角形内角和定理，不用再算cosC,这样可简化运算。
T：很好，为了提高解题的速度，这个小小的技巧你们可要记住了，而更重要的是这样做的结果一定满足三角形内角和定理，不会产生矛盾。这样看来，如果已知三边求角时，我们可以先用余弦定理求出两角，第三角用内角和定理求出。
我们刚才肯定了第二种方法（余弦定理），是不是就意味着第一种方法（正弦定理）完全不可取呢？
S8：非也，非也（全班哄笑）！用第一种方法（正弦定理）比用第二种方法（余弦定理）的运算量要小。
T：这倒是，但需要讨论解的情况呀。
S8：两解情况的讨论我们也可以避免。
T：有这么好的方法吗？我们来洗耳恭听！
S8：因为c<b，所以C<B，故C一定是锐角。由正弦定理算出sinC≈0.5440,得C≈330，B=1800-C=1060。
稍停，全班爆发出热烈的掌声。
T：妙啊！运算量小，且避免了讨论。同学们打开课本第7页看书上的解法，和S8的想法不谋而和。现在同学们能归纳一下已知两边和夹角解三角形的方法和步骤吗？
首先，它的解是唯一的吗？为什么？
S9：唯一，由以前学过的三角形全等的判定方法SAS可知它的解是唯一的。
师生一起归纳解题步骤：
第一步：先用余弦定理求出第三边；
第二步：
方法一：用正弦定理求较小边所对的角（锐角），再用内角和求出第三角。
方法二：用余弦定理求出任意一角，再用内角和定理求第三角。
本文章和图片来源于《顺德数学家园》
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